数学Ⅰ・数学A 集中講座

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本当は解答もお付けしたいところですが、しばらくお待たせすることになると思います。

 

全問題の解説動画は順次、あげていきます。

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数学Ⅰ:12問  数学A:11問
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一度にすべてこなそうと思わず、1日1問など自分のペースでコツコツこなしましょう。


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数学Ⅰ 12問


問題はワード資料をコピーして貼り付けただけなので、数式などはのせられておりません。

(ページ上に数式をのせるのはものすごく手間がかかってしまいます。お許しください。)

数式の部分は〇でおき換えていますので、くわしくは、上記ダウンロードをご利用ください。


問1〔数と式-因数分解〕

『次の式を因数分解せよ。〇』(横浜市立大)

〔解説〕4次式の因数分解です。a, b, c が対等な式で、「対称式」といいます。数学にはこういうときにはこうした方がいいという「方針」のようなものがあり、それを囲碁の言葉を使って「定石」といいます。

因数分解の定石は・・・「一番簡単な文字で整理する」「1次の項の係数はなるべくその形のまま、それ以外はできるだけ因数分解」これらの「定石」に従うだけで、式をきれいに整理する気持ちさえあれば、自然と答えにたどり着けます。(6分49秒)



問2〔数と式-実数〕

『〇の整数部分をa, 小数部分を b とするとき、 〇の値を求めよ。』(茨城大)

〔解説〕根号を含む数は、大きさにめどをつけるために分母を有理化しておくのは必須です。

「整数部分」「小数部分」など、じっくり考えれば、その場で消化できます。

「乗法公式」「因数分解」など、それ自体が目的ではなく、実際に計算の中で使いこなしていくものです。

この問題なんて典型的ですね。

(6分38秒)



問3〔数と式-1次不等式〕

『 x についての不等式 3(x-2)<8-4x , 2x+a≧x+4 がある。 a は整数であって、この不等式を同時に満たす整数 x は5つだけであるという。このとき a の値を求めよ。』(愛知学泉大)

〔解説〕問題をみて、何を言ってるのかわからない、といってあきらめてはダメですよ。

できることをやってから数直線をかいて考えれば、何をきかれているのかがわかります。

イコール(=)が入るかどうかがポイントですが、実際にイコールを入れたらどうなるんだろう、と試してみればどうすればよいかはっきりわかります。

 (4分16秒)



問4〔2次関数-2次関数のグラフとその移動〕

『頂点の座標が(1、-8)で 軸との交点の1つの座標が(-1,0)である放物線 〇 がある。

⑴ 定数  〇の値を求めよ。

⑵ この放物線を 〇 軸方向に 〇  , 〇軸方向に 〇 だけ平行移動したところ、  〇となった。

定数  〇 の値を求めよ。』

 (広島工業大・改)

〔解説〕

⑴「2次関数の決定」基本形と一般形とありますね。問題に惑わされず、適切な方を使いましょう。

⑵「グラフの平行移動」使いこなせると本当に便利です。数学Ⅱの「軌跡」の考え方を導入すると解釈しやすいですが、数学Ⅰの知識でも、十分に解釈できます。教科書を見直しておきましょう。

(10分42秒)



問5〔2次関数-2次関数の最大と最小〕

『関数〇    の最小値〇  を、次の各場合について求めよ。

⑴ 〇       ⑵ 〇       ⑶ 〇       (関西学院大)

〔解説〕

場合分けにより、最小値を求める問題です。

グラフをかいて考える手間さえとれば、何でもないです。できるかできないかなんて、その手間をとれるかとれないかだけの違いです。

グラフも毎回考えてかくようにすれば、どんどん上手に簡単にかけるようになりますよ。(8分08秒)



問6〔2次関数-2次不等式〕

『〇の2次不等式を 〇  とする。

⑴ ①を解け。      ⑵ ②を解け。

⑶ ①を満たす 〇の集合をA、②を満たす  〇の集合をBとする A 〇 B であるとき  〇の値の範囲を求めよ。』

(北里学園大)

〔解説〕

まず基本的な2次不等式の解法が身についていなければいけません。

⑶で「集合」の考えを利用した包含(ほうがん)関係を用いる問題が出てきます。これも数直線で考えれば、すっきりわかります。数直線をかく手間(てま)を、惜しまないことが大切ですね。

(10分22秒)



問7〔2次関数-2次関数の関連発展問題〕

『2次関数〇  が  〇 においてつねに 〇 となるような、定数 〇 の値の範囲を求めよ。』(秋田大・改)

〔解説〕

「場合分け」が苦手って人多いですよね。ふり返って本当に苦手かどうか考えてみましょう。

単に心がまえの問題でしょうね。最初から1問だけど3~5問分の問題を解こうというテンションで向えば、ふつうの問題です。

図をしっかりかいて、解答をすすめましょう。

 (15分43秒)



問8〔図形と計量-三角比の基本性質〕

『次の問に答えよ。』

『⑴   〇 のとき、  〇の値を求めよ。』(立教大・改)

『⑵ 三角形ABCにおいて、辺BC、CA、ABの長さを、それぞれ 〇とする。  〇の関係式を満たすとき、 〇の値を求めよ。』(自治医科大)

〔解説〕⑴ tan の値が与えられていて、それをもとにsin, cos を含む式の値を求めます。

裏技のように感じるかもしれませんが、平均して学校の先生に頭の固い方が多いだけで、本当はこのくらい悠々(ゆうゆう)と三角比の値は出せないといけません。(5分13秒)

⑵一見難しそうです。できることからやっていきましょう。

まずは図をかくことからです。最初から正確な図はかけるはずがないとわりきって、とりあえずかいてみましょう。問題を解きながら修正していけばよいです。(8分00秒)



問9〔図形と計量-正弦定理と余弦定理〕

『△ABC において、 a cosA = b cosB が成り立つとき、△ABCは直角三角形、または二等辺三角形であることを示せ。』             (奈良教育大)

〔解説〕

数学で大切な考え方「結論からおむかえ!」。先に答えにめどをつけてから計算をすすめましょう。

辺の長さの関係を知りたいのに、sinやcosではわかりにくいので、正弦定理や余弦定理を使って辺だけの関係式に持ち込みます。

最後は因数分解で目的の形にします。最後はやはり計算力です。(10分58秒)



問10〔図形の計量-三角比と図形の計量〕

『四面体OABCにおいて、AB = 2√2 , AC = 3√2 , OB = √5 , OA = OC , ∠OAB = ∠OAC が成り立つとき、OAの長さと∠OABの大きさを求めよ。』(芝浦工大・改)

〔解説〕これも図をかくところからです。かかなければ、はじまりません。最初から正確にかくことは無理とわりきってとりあえずかいてみましょう。

求めやすいように求めるものを文字でおきましょう。自分で文字でおく場合、おいた瞬間に範囲を気にしておくのが、数学であらゆる問題に共通するコツです。昔は・・・

「選手交代は守備範囲に気をつけろ!」

という言葉で教えてもらっていました。

(11分34秒)



問11〔データの分析-データの代表値と散らばり〕

『高校生5人の体重を測定した。そのうち4人の体重は次のようであった。

  53、61、58、48 (単位 ㎏)

この4人のデータの平均値と分散をそれぞれ 〇  で表す。

⑴  〇 を求めよ。

⑵ 残り1人のデータを a  とする。5人全体の体重の平均値が、はじめの4人の平均値より2㎏だけ大きいという。 a の値を求めよ。また、5人の体重の分散を求めよ。』

〔解説〕⑴資料の散らばりぐあいを表す数値が「分散」です。まず、資料の各値からそれぞれ平均値をひきます。そのままたしても0になるだけですね。しかたないんで、それぞれ2乗してから平均をとったら、それっぽい数値になりました。それが分散です。(2分20秒)

⑵4人の平均値、分散にもう一人のデータが入ります。平均値はふつうの計算と意味をとるのと、両方を確認しましょう。分散は、分散の意味を確認できるような問題になっています。確かに「散らばりぐあい」が表れていますね。

(3分51秒)



問12〔命題と条件-証明〕

『命題「自然数 〇に対し、〇が偶数ならば、 〇は偶数である」が真ならば証明し、偽ならば反例を述べよ。』(大阪薬科大・改)

〔解説〕

与えられた命題が、真か偽かから判断します。考えやすい方から考えましょう。

「対偶による証明」はみなさんの強い味方です。

これから検討すればいいでしょう。

 (8分05秒)



数学A 全11問


問1〔場合の数-順列〕

1から6までの番号を1つずつ書いた6枚のカードがある。この6枚のカードを並べててできる6ケタの自然数について、次の問に答えよ。

⑴番号1または番号6のカードがいずれも端になく、この2枚のカードが隣り合う並び方は何通りあるか。

⑵6桁の自然数を小さい順に並べたとき、315番目の6桁の自然数は何か。

(星薬科大)

〔解説〕⑴基本的な順列(並べ方)の問題です。「端(はじ)にない」「隣り合う」という2つのしばりがあります。1つずつ消化していきましょう。

(1分48秒)

⑵小さい順に並べたときを考える問題です。実際に小さい順に並べかえればいいんですよ。樹形図というのは並べるのを補助するための方法で、あくまでも補助です。(6分49秒)



問2〔場合の数-組み合わせ〕

右の図のように、道路が碁盤の目のようになった街がある。地点Aから地点Bまで最短距離で行く道順について考える。

⑴このような道順は全部で何通りあるか。

⑵地点Pを通る道順は何通りあるか。

⑶地点Pと地点Qの両方を通る道順は何通りあるか。

⑷地点Pを通って地点Qを通らない道順は何通りあるか。

 

⑸地点Pも地点Qも通らない道順は何通りあるか。             (関西学院大)


〔解説〕⑴~⑶最短距離で行く道順が何通りあるか?典型的な問題です。

「歩数」で考えると、わかりやすいですよ。

通る場所の指定があるときには、分けて考えます。

(4分20秒)

⑷⑸ここから先は「集合」の考え方を使って解いていきます。

「べん図」をしっかりかけば、すぐに解けます。

⑴~⑸の問題の流れにのって、考えていきましょう。



問3〔確率-事象と確率?〕

1つのさいころを4回投げて、1回目、2回目、3回目、4回目に出る目の数をそれぞれa, b, c, d とする。

⑴ a < b < c < d となる確率を求めよ。

⑵ (a-b)(b-c)(c-d)=0 となる確率を求めよ。       (立命館大)

〔解説〕

⑴順列や組み合わせを使って、何通りあるか調べます。あくまで基本は、樹形図などを使って数え上げることです。

PやCなどの計算は、その補助手段にすぎません。

この順番がずれていると、ここら辺の問題が理解できなくなってしまいますね。

(3分52秒)


⑵意味をとらえられれば「5秒」で答えが出ます。

むしろ残酷さを感じますね。私たちは、基本に忠実に答えまで「方針」にしたがって進みましょう。

(3分40秒)

⑵補足。別解として正面から解き直し、答えの確認をします。「正面」からももちろん解けます。あまりみる機会のない解法なので、参考になると思います。(3分23秒)



問4〔確率-反復試行の確率?〕

数直線上を動く点Pがある。点Pは原点を出発して、さいころを1回投げるごとに、2以下の目が出たら正の向きに1だけ進み、3以上の目が出たときには負の向きに2だけ進むものとする。

⑴ さいころを3回投げたとき、点Pが原点にくる確率を求めよ。

⑵ さいころを5回投げたとき、点Pの座標が-4または2になる確率を求めよ。   (早稲田大)

〔解説〕⑴まずは状況を整理します。さいころのことは、最初だけであとは忘れてよいです。

(2分53秒)

⑵どういう場合に条件を満たすかの判断が必要です。ごちゃごちゃ考えずに、みんな考えた方が速いです。(4分47秒)



問5〔確率-条件付確率?〕

奇数の面が青色で、偶数の面が赤色であるさいころが2個ある。この2個のさいころを同時に投げたとき、出た目の数の和が9以上であるという条件の下で、出た目の面が同じ色である確率を求めよ。

(東京電機大)

〔解説〕

「条件付確率」って、いったい何なんでしょうね?

だいたい、そこまで考えなくてもこのように簡単に解けます。

(1分42秒)



問6〔整数の性質-最大公約数と最大公倍数〕

 〇がすべて整数となるような正の整数 〇  のうち、最小のものを求めよ。       (甲南大)

〔解説〕

複雑そうな問題です。

こういうときは基本に戻って、最小公倍数と最大公倍数から攻(せ)めていきましょう。

こういう解法が他の問題にも使えます。

(5分51秒)



問7〔整数の性質-自然数の決定〕

〇は自然数で、 〇 とするとき、 〇を満たす  〇を求めよ。       (神戸薬科大)

〔解説〕チャート式問題集(青チャート)数学Aの例題128でも扱われている問題です。

本質的には証明問題で、こちらのアプローチから証明した方がチャート式の説明よりわかりやすいでしょう。

手を付けやすいところから少しずつしぼっていく。「背理法」もわかれば便利に使えるようになります。

(15分09秒)



問8〔整数の性質-整数のわり算と商および余り〕

mとnを正の整数とする。nをmで割ると7余り、n+13はmで割り切れるとき、mの値をすべて求めよ。

(鹿児島大)

〔解説〕「必要から十分へ」

答えが出たとします。しかし、その答えは必要条件を満たしているだけで十分条件を満たしていないことがあります。

とりあえず必要条件で答えを出さなければ、はじまりません。その後、十分条件を満たしているかで答えをしぼっていきます。

 (11分38秒)



問9〔図形の性質-三角形の辺の比〕

△ABCにおいて、辺ABを4:3に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとする。また、線分BEと線分CDの交点をFとし、直線AFと辺BCの交点をGとする。

⑴ 長さの比BG:GC と BF:FE を求めよ。

⑵ 面積の比 △EFC:△ABC を求めよ。       (徳島大・改)

〔解説〕⑴チェバ・メネラウスの定理を使う問題です。使い方さえわかれば、とても便利な定理です。

 (6分38秒)

⑵面積比を求める問題ですが、こちらも考え方さえ知っていれば簡単にさばけますよ。

 (3分46秒)



問10〔図形の性質-円の性質〕

△ABCの辺BCの中点をD、∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとする。

CA<ABで、△ADEの外接円と  辺CA、ABとはそれぞれAと異なる交点F、Gをもつ。

BC = a、CA = b、AB = c として、次の問に答えよ。

⑴ 線分BE、BGの長さをa, b, c を用いて表せ。

⑵ BG = CF であることを証明せよ。         (センター試験・改)

〔解説〕⑴角の二等分線の定理や方べきの定理を使います。形から何を使えばよいか、すぐ見えるようにしておきましょう。(6分27秒)

⑵「方べきの定理」は相似からおこせるので、知らなくても何とかなりますが、使いこなせるととっても便利な定理です。(4分09秒)



問11〔図形の性質-円に内接する四角形〕

三角形ABCの辺ABを2:1に内分する点をD、辺ACを3:5に内分する点をEとする。4点B, C, E, D が同一円周上にあるとき、辺ABと辺ACの長さの比AB:ACを求めよ。(岩手大)

〔解説〕使うのは「円周角の定理の逆」「円周角」「相似」と、中学で習う範囲のものです。

やはり中学校で習ったことが大切ですね。一番大切なことは中学で習っています。

図形が苦手という方は、中学内容の復習をおすすめします。

(8分00秒)