単位円を身に付けて、使いこなそう！
単位円のわかりやすい解説
こんにちは、井出進学塾です。
今回は、数学Ⅰ「三角比」の０° ≦ θ ≦ 180° まで拡張した三角比についてみていきます。
ここで困っている人が多いようですね。
タイトル画で示した公式や表って・・・実は覚えなくてもいいんですよ。
覚えない方がいいくらいです。（びっくりした人もいるかもしれませんが、標準的な学校の授業では大人数を相手にしているため、「とにかく覚えろ」ということになってしまうことも多いでしょうね。）
「単位円」の考え方を身に付けましょう。
最初は難しいと感じるかもしれませんが、大丈夫です。
この解説記事では、数学が特に苦手という人を対象に話を進めます。
単位円さえつかめれば、後は本当に楽ですからね。
力の入れどころだと思って、がんばりましょう。
ワークシートはこちらからダウンロードできます。
今回のテーマに合わせたワークシートです。
こちらを印刷し、それに書き込みながら読み進めると、理解が進みやすいと思います。
このページの内容の解説動画も準備しています。最初はそちらをご利用いただいてもよいかと思います。
まずは、三角比の確認からです。
図のような直角三角形を考え、１つの角をθとし、図のように辺の長さをそれぞれ、x， y， r とします。
図の向きで考えたとき、「（ななめ）分の（たて）」を sinθ 、「（ななめ）分の（よこ）」を cosθ 、「（よこ）分の（たて）」を tanθ とするので、・・・
・・・のようになります。
☆この三角形を拡大や縮小しても、90°とθは変わらないので「2つの角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たすので相似です。三角比の値は変わりません。
地球規模の大きさでも、目にはみえない極小の世界でもこの値は変わりません。
（すごいことですよね。）
どんな大きさでもかまわないので、考えやすいように斜辺の長さが１の直角三角形を考えてみましょう。
そうすると、
sinθ＝y/1＝y
cosθ＝x/1＝x
・・・となるので、1つの角が θ の直角三角形を考えるとき、（縦）の長さがそのまま sinθ、（横）の長さがそのまま cosθ になるので、考えやすいです。
しばらく sinθ にしぼって考えてみましょう。
斜辺の長さを１と固定すれば、sinθ の値は（縦）の長さで表されるので、
θ が小さければ小さいほど sinθ の値も小さく、
θが大きければ大きいほど sinθ の値も大きくなるだろうとわかります。
教科書にのっている三角比の表をみても、それはわかりますね。
θ＝30° のとき、ちょうど sinθ＝0.5 です。
後で改めて確認しますが、30°の直角三角形は正三角形の一部なので、斜辺の長さを1としたら、縦の長さはその半分の0.5になるのは、いいですよね。
θ を小さくしていくことを考えます。
三角比の表でみて、
sin10°＝0.1736
sin１°＝0.0175 ・・・と、小さくなっていきます。
θ＝0.1° や、θ＝0.01° を考えると sinθ の値はもっともっと小さくなっていき、0に近づいていきますね。
次に、θ を大きくしていきましょう。
三角比の表でみて、
sin80°＝0.9848
sin89°＝0.9988 ・・・と、大きくなっていきます。
これも、θ＝89.9° や、θ＝89.99° を考えると sinθ の値はもっともっとおおきくなっていき、１に近づいていきます。
sin0°＝０、sin90°=1 としてもよさそうですが、直角三角形による三角比の定義だとそれができません。
θ が 0° や 90° だとすると三角形になりませんからね。
もちろん、（縦）の長さを０や、１と考えることも可能ですが、それはいったんおいといて、ここで中学校のおさらいです。
2ページの上にある3つの直角三角形の、「比」を図に書き入れてみましょう。
これは、できないといけませんよ。
もともと正三角形や正方形を半分にしたものなので、それと三平方の定理で辺の比は求められます。
（解説動画の法では、そこについても補足します）
次に、30°、45°、60°の三角比（sin、cos、tanの値）を、それぞれの三角形の下の余白に書き入れましょう。
上で辺の比を入れた3つの直角三角形について・・・
これらについても、斜辺を「1」とした場合を考えてみましょう。
下の図に書き入れていきます。
θ＝30° の直角三角形
斜辺の２のところを半分の１にしているので、他のところも半分に（1/2倍）すればよいので、左図のようになります。
θ＝45° の直角三角形
斜辺の √2 を 1 にしているので、1/√2 倍しています。
他の辺も 、1/√2 倍します。
θ＝60° の直角三角形
θ＝30° の場合と同じです。
各辺を 1/2倍していきます。
ここで改めて、・・・
斜辺を「１」とした場合ですが、（縦）の長さが sinθ の値、（横）の長さが cosθ の値になっていることを確認しましょう。
斜辺と「１」とした場合、（縦）の長さが sinθ、（横）の長さが cosθ となるので、これをうまく利用できそうです。
斜辺が「１」の直角三角形を、θ の値をいくつかとって、θ にあたる頂点を合わせて重ねてみましょう。
・・・「円」がみえてきました。
そこで、x-y 平面上に原点を中心とする半径１の円を考え、これを「単位円」と呼ぶことにします。
「単位円」の使い方をみていきましょう。
「30°」について考えます。
x軸の正の部分と30°の角をなす直線を引いてみましょう。ワークシートの方では、赤の点線で30°を示していますので、それを延長すればよいです。
今、引いた直線と単位円との交点の座標を考えます。
単位円上のどの点をとっても、原点からの距離は「１」です。（円ですからね。）
先ほどの斜辺を1とした30°の直角三角形を考えればよいです。
横の長さは √3/2、縦の長さは 1/2 になりました。
交点の x 座標が √3/2 で y 座標が 1/2 になります。
これらの x 座標、 y 座標は、それぞれ cos30°、sin30° の値を示しています。
このようにして・・・
「x 軸の正の部分と θ の角をなす直線を引き、その直線と半径1の単位円の交点の、
x 座標を cosθ 、y 座標を sinθ とする」
・・・というふうに、三角比を決めることもできます。
70°の場合を考えても（ワークシートでは緑の点線で70°を示していますので、それを延長しましょう）・・・
sin70° や cos70° の正確な数値を出すのは難しいですが、x 軸と70°の角をなす直線と単位円の交点の、x 座標が cos70° の値を示し、y 座標が sin70° の値を示します。
また、これによると 0° のときや 90° のときの三角比も考えやすいですね。
x 軸と 0° の角をなす直線は、x 軸とかぶります。
その直線と単位円との交点は（1，0）なので、
cos0° ＝１、sin0° ＝０ ・・・と、なります。
x 軸と 90° の角をなす直線は、y 軸とかぶります。
その直線と単位円との交点は（0，1）なので、
cos90° ＝０、sin90° ＝1 ・・・と、なります。
90° 以上の三角比も考えられるようになりました。
例えば70° の sin、cos も x 軸と 110° の角をなす直線を引き、その直線と単位円の交点との座標で、sin110° や cos110° が決められます。
さらに、これ田の三角比の値と、0° ≦ θ ≦ 90° の θ の三角比の値との関係もみえてきます。
例えば、110° は 180° の 70° 手前です（図参照）。
θ＝70° のときの座標と比べてみましょう。
sin は y 座標ですが、110° のときと 70° のときの y 座標は同じですよね。
よって、sin110° ＝ sin70° です。
また、cos は x 座標ですが、110° のときと 70° のときの x 座標は大きさ（＝絶対値：原点からの距離）は同じで、プラス・マイナスだけちがいます。
よって、cos110° ＝ －cos70° です。（cos70° にマイナスの符号が付きます。）
また、tan ですが、tan は y/x なのでこれはグラフ上では「傾き」として現れます。
110° のときと 70° のときで、傾きの大きさ大きさ（＝絶対値：原点からの距離）は同じで、プラス・マイナスだけちがいます。
よって、tan110° ＝ －tan70° です。（tan70° にマイナスの符号が付きます。）
これを一般化すると・・・
sin は y 座標なので、sin(180°－θ) の値は sinθ の値と同じで・・・sin(180°－θ)＝sinθ
cos は x 座標なので、cos(180°－θ) の値は cosθ の値とプラスマイナスが反対で
・・・cos(180°－θ)＝－cosθ
tan は傾きなので、tan(180°－θ) の値は cosθ の値とプラスマイナスが反対で
・・・tan(180°－θ)＝－tanθ
・・・というふうに考えることができます。
実際の適用例をみていきましょう。
次のような問題を考えます。
問題）sin120°、cos120°、tan120° の値をそれぞれ求めよ。
単位円上に x 軸の正の部分となす角が120° の直線を引き、その直線と単位円の交点の y 座標が sin120°、 x 座標が cos120°、また直線の傾きが tan120° となります。
これも、120° は 180° の 60° 手前だということに着目です。
sin は y 座標で、120° のときと 60° のときの y 座標は同じなので・・・sin120° ＝ sin60°
cos は x 座標で、120° のときと 60° のときではプラス・マイナスだけが反対で・・・cos120° ＝ －cos60°
tan は傾きで、120° のときと 60° のときではプラス・マイナスだけが反対で・・・tan120° ＝ －tan60°
…後は、60° のときの三角比を入れればいいですが、これも覚えている覚えていないではなく、覚えていなければそのつど 60° の直角三角形を自分でかいてみて考えるようにしましょう。
そうすることで、はじめて定着します。
（「－」の符号はそのままで、cos60° の部分に 1/2 をあてはめると考えるとよいです。）
θ＝180° の三角比
単位円より、sin180° ＝０、cos180° ＝－1 とわかります。
sin は y 座標なので、θ＝0° のとき０から始まり、θ が大きくなるにつれだんだん大きくなっていき、θ ＝90° のとき最大で１。その後だんだん小さくなっていき、θ ＝180° で再び０になります。
cos は x 座標なので θ＝０ のとき最大で１。
θ が大きくなるにつれ小さくなっていき、θ ＝90° で０，θ ＝180° で最小で－1になります。
このことも、リアリティをもっておさえておきましょう。
では、ここまでの内容をふまえ、次の問題を考えてみましょう。
（例題1）
0° ≦ θ ≦ 180° とする。次の等式を満たす θ を求めよ。
⑴ sinθ ＝ 1/2 ⑵ tanθ ＝ －1/√3
（例題2）
0° ≦ θ ≦ 180° のとき、次の不等式を満たす θ の範囲を求めよ。
⑴ cosθ ＝ －1/√2 ⑵ sinθ ＝ √3/2
（問題がみにくいかもしれませんので、画像にして貼っておきます。）
こちらは、ユーチューブ動画で解説しますので、そちらでご確認ください。
以上です。
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